Unter einer homogenen Wellengleichung versteht man eine lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für eine Funktion

u(x₁,...,x_n,t)

der Form

Unter einer inhomogenen Wellengleichung versteht man die Differentialgleichung, die man durch Ersetzen der rechten Seite durch eine Funktion von x_i und t aus obiger Gleichung ersetzt. Die Wellengleichung ist vom hyperbolischen Typ.

Häufig wird der Begriff "Wellengleichung" darüber hinaus auch auf andere lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung angewendet, deren Lösungen als Linearkombinationen ebener Wellen geschrieben werden können.

Die Funktion u kann dabei in die reellen oder komplexen Zahlen, aber auch auf Vektoren, Tensoren oder Spinoren abbilden.

Die homogene Wellengleichung in einer Dimension lautet

(hierbei ist die Funktion u natürlich zweidimensional, aber üblicherweise wird t hier nicht mitgezählt). Sie hat als allgemeine Lösung

mit beliebigen zweimal differenzierbaren Funktionen f(x) und g(x). Dabei beschreibt der erste Summand eine mit Geschwindigkeit c nach links laufende, der zweite Summand eine mit derselben Geschwindigkeit nach rechts laufende Welle.

Mit Hilfe der Fouriertransformation lassen sich die Funktionen f und g als Linearkombination von Sinus-Funktionen oder auch komplexen Exponentialfunktionen schreiben, wobei diese Funktionen die Form

bzw.

haben (in der zweiten Schreibweise steckt die Phase φ in dem komplexen Vorfaktor A), wobei

ω = kc

In mehreren Dimensionen lässt sich die allgemeine Lösung nicht mehr so einfach hinschreiben, aber auch hier können alle Lösungen als Linearkombination der ebenen Wellen

bzw.

mit

geschrieben werden. Diese Wellen haben alle die Geschwindigkeit c und bewegen sich in Richtung von .

Im allgemeinen (4-dimensionalen) Fall lautet die Wellengleichung

.

Dabei ist v die Ausbreitungsgeschwindigkeit und Δ der Laplaceoperator.

Die Wellengleichung kann man mit dem d'Alembertoperator oder Quablaoperator vereinfacht als

schreiben.

In anisotropen Körpern, ist die elektrische Feldstärke E und die elektrische Verschiebungsdichte D nicht mehr gleich gerichtet sind. Damit kann die dielektrische Funktion , welche die beiden Formelgrößen verknüpft, nicht mehr als Skalar aufgefasst, sondern muss als Tensor zweiter Stufe behandelt werden. Wie sich eine elektromagnetische Welle in dem anisotropen Medium ausbreitet, lässt sich durch Lösen der Wellengleichung für anisotrope Körper berechnen:

Dies Lösung dieser Gleichung ist Thema der Kristalloptik.